公開日：2025/03/01

33rd Season

#33-9　Blocklyの数学関数整備

　Cmod A7ボード(FPGA)を使って、オリジナル16ビットCPUコアMoscoviumの開発を進めています。

　独自仕様のマイコンだけではなく、その開発環境としてBlockly for Moscoviumの整備も進めてきました(詳細はこちらから)。今回は、Blocklyで数学関数を使うための拡張がテーマです。

数学関数

　Moscovium用に数学関数を整備した以下記事がありますので、それを基本として、Blocklyに実装して行こうと思います(以下リンク参照)。

　　「#16-9　数学関数を整備しよう」

　上の記事では、半精度浮動小数演算コプロセッサH-FPUを使いました。半精度浮動小数は16ビット長で、10進数換算の有効数字約3桁です。有効数字が小さいため、テイラー展開で実装するにも、より少ない項数で収束していました。

　Blockly for Moscoviumは、Nihoniumコア＋単精度浮動小数演算コプロセッサS-FPUにも、対応しています。つまり、上の記事では半分(H-FPU)しか対応しておらず、S-FPU対応が未実施です。
　単精度浮動小数は32ビット長で、10進数換算の有効数字約7桁なので、テイラー展開の項数を少し多くとれば良いだけかな？と、言う印象です。今回、テイラー展開の項数以外に考慮する必要のあった、指数exp()関数についての追加考察をしておきます。

指数exp()関数

　exp()関数の求め方については、引数xの整数部分と小数部分に分けてexp()関数を計算するという方法までは解説済みです。以下にまとめておきます。

• x＝xi＋xf
• xi＝int (2×x)÷2
• xf＝x−xi　(0≦xf＜0.5)
• exp (x)＝exp (xi＋xf)＝exp (xi)×exp (xf)
• exp (xf)は、テイラー展開で求める。
• exp (xi)＝exp (int (2×x)÷2)＝(√e)^{int (2×x)}

　exp (xi)はネイピア数eとした時、√eの正数べき乗なのでループを回して掛け算すれば良い、と、結論しておりました(こちらの記事を参照)。確かにH-FPU版ならば、そういう手もあったかもしれないのですが、それでも最大23回(※)もの掛け算が必要です。1回のexp()関数を求めるのに、これではあまりに遅すぎて使い物になりません。
　H-FPU版では、使い得るxi値の範囲が高々24個だったため、16ビット×24個＝48バイトのテーブル参照で実装しました。

※16ビット半精度浮動小数では、int (2×x)≧23で、exp (xi)→∞に発散する為。

　一方、S-FPUでは、int (2×x)が178以上でexp (int (2×x)÷2)→∞(無限大、INF)へ発散します。つまりS-FPU版では、なんと、最大178回の掛け算が必要となります。更に輪をかけて遅くなります。看過できません。
　H-FPU版と同様なテーブル参照に持ち込むと、32ビット×178個＝712バイトのテーブルが必要となり、これも少々否定的です(テーブルサイズが大き過ぎます)。何か別な手段でexp (xi)を求める必要が生じました。

　そこで、A^a1＋a0＝(A^a1)×(A^a0)の関係式を使う事にしました。

• 整数int (2×x)の値の範囲は0≦int (2×x)＜178、従って8ビット整数。
• 2進数表記した時の各ビットをb7〜b0とする。
• xi＝int (2×x)÷2＝Σ((2^j)×bj÷2)
• j＝7〜0
• exp (xi)＝exp (int (2×x)÷2)
• ＝exp (Σ((2^j)×bj÷2))
• ＝exp (Σ((2^j−1)×bj))
• ＝Π(exp ((2^j−1)×bj))
• ＝Π((bj＝0)？1：exp (2^j−1))
• ここで、Πは総乗演算記号。

　最大178回の乗算が、最大8回の乗算に帰着しました。
　bjで場合分けした最後の式に於いて、bj＝0または1です。exp (2^j−1)は定数なのでテーブル参照に持ち込むことができます。テーブルサイズは32ビット×8個＝32バイトと、こちらも現実的なサイズですね。これで実現可能な水準に到達しました。

その他の関数

　テイラー展開等を使って求める「基本関数」と、基本関数の組み合わせで求めることのできる「派生関数」に分類してみると以下となります。

• 基本関数：
• 指数exp(x)関数
• 自然対数log(x)関数
• 正弦sin(x)関数
• 逆正接atan(x)関数
• 平方根sqrt(x)関数
• 派生関数：
• べき乗pow(x，y)関数
• 常用対数log₁₀(x)関数
• 余弦cos(x)関数
• 正接tan(x)関数
• 逆正弦asin(x)関数
• 逆余弦acos(x)関数

　ああ、派生関数の何と多き事か！こちら「#16-9　数学関数を整備しよう」の記事では、基本関数だけを作っておいて、派生関数については「各自対応」って、ことで放置していました。今回はBlocklyに組み込もうというのですから、派生関数も全部作らないとなりません。
　作り方は解っているので「作業だけ」、なのですが、評価(デバッグ)は必要だったし、地味に疲れました……。

Blockly拡張

　関数を求めるプログラムはランタイムライブラリとして、アセンブラで記述しておきました。以下、Blocklyに適応させて行きたいと思います。

数学関数ブロック

　今回追加しようとするのは計12種類の関数です。ドロップダウンリストが長くなると使い難いと思いますので、適切な数に分割して実装します。形式や関連性などに従って、以下3種類に分類してみました。

• 2引数関数：　pow(x，y) → べき乗演算子(**)
• 1引数関数：　sqrt(x)、exp(x)、log(x)、log₁₀(x)、log₂(x)
• 三角関数：　sin(x)、cos(x)、tan(x)、asin(x)、acos(x)、atan(x)

　上の分類に従って、BlocklyのMathカテゴリに以下の通り追加しました。



　動作仕様などについての詳細は、こちらのリンクからご確認ください。

Blockly.XML→Moscovium.ASM変換環境更新

　Blockly.XML→Moscovium.ASM変換スクリプトを更新すると共に、数学関数ライブラリを追加しました。まとめて、こちらからダウンロードしてください。

　以下のバナーからGitHubを参照しても、必要ファイルにアクセスする事が可能です。



　Blockly for Moscovium開発環境の構築については、こちらの記事をご参照ください。

評価用プログラム

　追加した数学関数ブロックを評価(デバッグ)するために以下プログラムを作成しました。

　　実験用プログラム：test_func_plot.xml

※ブラウザによっては、XMLファイルをレンダリングして表示してしまうので、「右クリック ⇒ リンク先を保存」などしてください。

　Blockly for MoscoviumのXMLタブに貼り付けて、ご利用ください。Blockly.XML→Moscovium.ASM変換手順を参照して、Moscoviumマイコンに書き込んでください。
　数学関数ブロックを使って、指定範囲の関数値を計算して表示するプログラムと、なっています。出力された数値データをExcel等に貼り付けると、グラフを描いたり期待値との比較が実行できます。

実験と言うか評価

　FPUを搭載したMoscoviumまたはNihoniumマイコン(例えば以下)のデザインでシミュレーションして、評価します。Vivadoを使ったシミュレーションの実行方法についてはこちらをご覧ください。

　　FPU搭載マイコン例：

• Moscovium(-SS)＋H-FPU：　msoc115tf3208.vh
• Nihonium(-SS)＋S-FPU：　nsoc113by9808.vh

　半精度浮動小数演算コプロセッサH-FPU用の数学関数の評価については、こちら「#16-9　数学関数を整備しよう」の記事で実施済みなので省略します。単精度浮動小数演算コプロセッサS-FPUでの評価を実施してみましょう。

　　実験サンプル：シミュレーション結果ログ
　　PLOT
　　00000000 00000000
　　3da14285 3e8fabb0
　　3e214285 3ecb2e56
　　3e71e3c7 3ef8d84a
　　：
　　：　(中略)
　　：
　　411c3870 4047fb28
　　411d7af5 4048c92d
　　411ebd7a 4049965f
　　41200000 404a62c1
　　END
　　Test Pass
　　CPI:　39385/　22961(　0)=　1715/1000
　　finish:　1595240 ns

　ログ出力されたのは、32ビット単精度浮動小数のバイナリデータです。VivadoのVerilogシミュレータで浮動小数を表示すると有効数字6桁ほどに丸められてしまい、期待値との比較で誤差の評価ができない(※)ため、バイナリデータで出力しておいて、適切な有効数字の浮動小数に変換して評価を実施しました。

※単精度浮動小数float型の有効数字は約6.9桁なので、6桁では桁数不足。

　S-FPUでの評価結果をド〜ン🎆と、以下図に示して考察を続けます。



　　評価結果考察：

• 今回Blocklyに適応した全12種類の関数についてプロットしたグラフ。
• 横軸にx、縦軸にy＝func (x)を取って青色でプロット(左縦軸)。
• 期待値との誤差率を赤色でプロット(右縦軸)。
• 同等のExcel組み込み関数を神様(期待値z)として誤差率を計算した。
• 誤差率err＝abs ((y−z)÷z)を2²³倍することで、仮数部が23ビットである単精度浮動小数の誤差率[LSB]に換算したもの。
• よって、err＜1LSBが目標値
• 誤差率の評価結果について、ざっとまとめると以下の通り。
• 少なくとも、グラフの形状は各関数の期待値と合致。
• 期待値との誤差率を無視すると、各関数としては機能している。
• 指数exp()関数(最上段)と、三角関数(上から3段目)の誤差率が大きく、精度が低い。
• テイラー展開の項数としては、増やしても状況に変化の無いことを確認済み。
• つまり、テイラー級数としては、収束している。
• その他、浮動小数の特徴である、有効数字による演算誤差や、加減算時の「桁落ち」等の影響による誤差率増大と見られる。
• 誤差率を小さくするためには、抜本的にアルゴリズムから見直す必要がある。
• 従って、本ページとしては、現状の誤差率を許容する。
• pow (x，y)＝exp (y×log (x))なので、exp()関数の誤差率に引きずられて、べき乗pow()関数も誤差率大。
• あとは、概ね誤差率≦1LSB前後であり、問題なし。
• 記事としては省略したが、H-FPU版についても、ちゃんと評価は実施した。
• 即ち、上図のH-FPU版も作成して、S-FPU版と同等の結果であることを確認済み。

　「地味に疲れた」理由がご理解いただけたら幸いです（１＾＾；）。


　皆様のアプリケーションで、どの様な浮動小数演算が必要なのか？は存じ上げませんが、一通りの数学関数を用意したので、大抵の用途には耐え得るはずです。Good job → 自分ｄ（１＾−＾）ｖ。