ペンローズの三角形

　今回のテーマは、不可能物体の中から「ペンローズの三角形」です。

　上の図をご覧いただくと解りますが、立体的な三角形に上の方から光が当たっています。光源からの光が届かない手前の面が影になって、上の面が光っています。でも、何だか変です。こんな物体、あるわけがない！

　本来、二次元だから成立する図形なのですが、実は三次元であっても、視点(見る位置)を一点に固定すれば上図の様な物体を現実世界に作ることは可能です。

　上の物体を少し角度を変えて見てみると、下図となります。



　全く「ペンローズの三角形」には見えない、3本の角材がそれぞれ直角に組み合わさっているだけの単純な物体です。これをある特定の一点から眺めて見た時だけ、「ペンローズの三角形」となって見ることが出来るのです。

　カギとなっているのが、垂直に立っている角材の上側面の切り口(角度)です。この角度を視点位置に合わせておかないと、「ペンローズの三角形」には見えません。以下、実際にこの物体を制作する際の注意点を挙げてみます。

• 垂直角材の切り取り角度
• 視点の位置によって、切り取るべき角度は変わります。
• 実際には投影によって見え方に多少の差が出るので、「計算通りに切り取る」と言うより、「実際に見て微調整」に、なると思います。
• 視点の選択
• 特定の一点から見た時しか「ペンローズの三角形」に見えないので、視点をどこに置くか？は重要です。
• 周りに、高い位置から見下ろせる建造物が無い状態で、視点を高位置に配置しても、その位置に到達できなければ意味がありません。
• 見る位置を決めてから、切り取り角度などを計算(＆調整)する必要があります。
• 物体の大きさ
• 人が普通に立った位置に視点を設定したと仮定しましょう。
• 人それぞれ、身長が異なるので、これでは視点位置を固定したことになりません。
• 多少の身長差や、見る位置の変化が有っても、ちゃんと「ペンローズの三角形」に見えるためには、視点位置のブレが「誤差範囲」に収まるように、ある程度大きな物体として制作することが必要となります。
• 物体と視点の距離
• 投影によって、一般的に近くの物体は大きく、遠くの物体は小さく見えます。
• 「ペンローズの三角形」も遠くの角材と近くの角材が繋がって見える位置から眺めることが前提なので、物体と視点との距離が近すぎると、大きさ(角材の太さ)の違いがはっきり見えてしまってダメです。
• ある程度離れた位置に視点を設定する必要があります。

　「そもそも、下の2つは同じ物体なの？」



　と、言う疑問を持った方のために、以下の通り、動画を作成しておきましたので、ご確認ください。

完成データ

　完成したデータをリンクしておきます。

　１）をレイトレーシングして作成した動画を以下にリンクしておきます。



　特定の一点から見ると、不可能物体に見えますが、視点をぐるりと回り込んでみると、ただの3本の角材が互いに直角に交わっているだけだということがお解りになることでしょう。