タワー型の建造物に見られる特徴的な構造があるんですね。日本の建造物で言うと、神戸ポートタワー。このタワーに使われている構造を双曲面構造と言うのだそうです。作者は、建築関係の専門ではないので、詳しくは知らないのですが……。
無理やり作者のテリトリに引きずり込んでみると、これって、二次曲面の一種で、一葉双曲面の一部を切り出した形なんですよね。
まず、適切な距離を離した円を2つ想定します。この円の半径に当たる直線を想定し、円周に沿ってぐるっと360°回転します。この時の回転角度をθとしましょう。
上の円と、下の円で同じ様なことをしながら、上の円の点P1と下の円の点P2を直線でつないでいきます。θ＝0〜360°までぐるっと一周。例によって、順番が逆ですが、レイトレーシングした結果を使うと、以下図の様になります。
円柱面ですね？トイレットペーパの芯とかお茶缶の様な形。
今度は、上の円と下の円の回転角に、一定の位相差ηを付けて回転させ、同様にP1とP2を直線でつないでいきます。
出来上がったのは、以下の様な構造物。ちなみに、作図に使用した位相差はη＝120°。
実はこれが一葉双曲面と呼ばれる曲面なのです。打楽器(和楽器)の鼓のように、中央部がシュッとすぼまったような形をしています。
位相差ηは、0°〜180°までつけることができます。ηが180度を超えると、反対向きに180°−η回転させたのと同じ意味になってしまうので、レパートリとしては、0°〜180°の範囲、という事になります。
η＝0°の時は円柱面でした。0°＜η＜180°の時は、一葉双曲面になります。ηを変化させると、すぼまった部分の半径が変化します。ηを大きな値にしていくと、どんどん「すぼまった部分」が細くなっていくようです。では、η＝180°に設定すると、どうなるでしょうか？
これは……、円錐面ですね。
二次曲面の一般式については、「論理演算のいじめパタン」でご説明しました。
「論理演算のいじめパタン」でご説明したように、円柱面と円錐面は、二次曲面の一種です。一葉双曲面もまた、二次曲面の一種ですので、親戚みたいなものですね。3つの方程式を眺めてみましょう。
みんな、二次曲面という親戚同士ですので、当然と言えば当然ですが、似てますね。円柱面の方程式だけ、z2の項が無いのですが、それも、一葉双曲面の方程式において、c→∞の極限値と考えることができます。後は、方程式の右辺の定数が0か1か？と言う違いですが、これも例えば「……＝k2」という一般形に於いて、右辺が1になるように両辺をk2で割り算して、右辺を1にした式(円柱面と一葉双曲面)と、k→0の極限値で「……＝0」となった式(円錐面)と、捉えると、以下の様になり、本当にそっくりです。
最初にご覧に入れた、位相差ηを持った円周上の点を直線でつなぐ方法では、η＝0°と180°が特異点で、円柱面と円錐面になりました。二次曲面の方程式から見ると、方程式の係数のc→∞やk→0と言った極限値が特異点となって、円柱面と円錐面を形成していました。結果的には、同じ物なのに、ちょっと見方を変えるだけで、こんなに違う物なんですね。
完成したデータと動画です。
| Xi-TRACEデータ | hyperboloid.xitr |
このページの説明に使ったレイトレーシング画像も、このデータで生成したものです(enbfig＝true)。
動画の最初の方で、rodが1本づつ増えていくところがあるのですが、瞬間的に「ぱっ」と現れるようにしてしまいました。「にょろっ」と伸びる様に登場させた方が見栄えが良かったかも知れません。
