ヒルベルト曲線の箱

　以前作図したヒルベルト曲線(下図)を使って、箱を作って見ました。



　上の図だと、三次のヒルベルト曲線(緑線)まで作図してあるのですが、スカスカに見えます。大きめの石ころなら引っ掛かるでしょうが、砂粒や水なんかだと、引っ掛からずにこぼれてしまいそうです。
　でもこの曲線、空間充填曲線と呼ばれていて、次数n→∞の極限では、ピッタリ空間を埋め尽くしてしまって、水はおろか空気の分子でさえもブロックしてしまうほどになります。数学的な極限なので、何ならアルファ線、ガンマ線などの素粒子でさえ、すり抜けるのは困難でしょう。

　この特徴を活かして、ヒルベルト曲線で作成した板を使って、箱を作って見ました(下図)。



　上図で五次のヒルベルト曲線を使っていて、一面当たり1,024本の線分が生成されています。本来であれば、次数を増やしていって、空間を埋め尽くしたかったのですが、n次ヒルベルト曲線で生成される線分数は4ⁿ本となります。これ以上次数を増やすと、物体数が爆発して計算時間が膨大になってしまいます。
　仕方なく、ちょっとズルして線分の太さを変えることで隙間を埋める手段を取りました。



　完全に隙間が埋まって、蓋が閉まると、こんな↑感じです。

完成データ

　完成したデータをリンクしておきます。

　１）をレイトレーシングして作成した動画を以下にリンクしておきます。



　浮遊する水晶玉の周りにヒルベルト曲線が伸びながら箱を作って行きます。六面が出そろったところで、箱のふたを閉じながら線分の太さが増して行き、隙間を埋め尽くして箱となります。